Родился 5 января 1931 года в городе Николаеве.

Окончил  актёрское отделение Одесского театрального училища (1951) и режиссёрский факультет Ленинградского Государственного Института театра, музыки и кинематографии (1960).

Работал актёром в Одесском театре Советской Армии и Русском драматическом театре города Бельцы (1951—1952).

Режиссёр Ижевского русского драматического театра (1960—1962) и  Рижского театра русской драмы (1963),  главным режиссёром которого был четверть века.

В Театре имени Евгения Вахтангова Аркадий Кац работал после вынужденного переезда из Риги с 1988 по 2002 год, поставил 5 спектаклей, каждый из которых занял достойное место в репертуаре.

В 1989 году  поставил музыкальную трагикомедию «Закат» по произведениям И.Э. Бабеля на музыку Александра Журбина, в которой блистали Владимир Этуш, Юлия Рутберг, Владимир Симонов, Сергей Маковецкий, Александр Филиппенко и др.

В 1991 году — «Мартовские иды» по роману Т. Уайлдера, рассказывавшие о Цезаре в его последние дни: о немолодом умном правителе, уставшем от побед, измученном доносами и требованиями жаждущих крови подданных. Каждое слово Уайлдера о Риме казалось произнесённым о России 1991 года и вызывало бурную реакцию зала. В
спектакле были заняты Михаил Ульянов, Юлия Борисова, Ирина Купченко, Людмила Целиковская, Алла Казанская, Вячеслав Шалевич, Марина Есипенко и др.

В 1992 году — «Женитьбу Бальзаминова» А.Н. Островского, как печальную, будто гоголевскую, историю о бедном, мечтательном Мише Бальзаминове, которого играл Михаил Васьков. Мария Аронова, будучи студенткой Щукинского училища, впервые вышла на Вахтанговскую сцену в роли Белотеловой в этой постановке.

В 1995 году — «Варвары» М. Горького, наполненные элегической чеховской атмосферой, которая снимала остроту горьковской пьесы, но открывала персонажей с неожиданной стороны. В спектакле играли Михаил Ульянов, Максим Суханов, Владимир Симонов, Мария Аронова, Александр Павлов и др.

В 1997 году вышла последняя постановка А.Ф. Каца на вахтанговской сцене – «Цилиндр» по комедии Э. де Филиппо с Владимиром Этушем, Лидией Вележевой, Александром Граве, Игорем Лагутиным в главных ролях.

С 2002 года Аркадий Кац работал режиссёром Театра «У Никитских ворот». В 2014—2016 годах — режиссёр Тамбовского драматического театра.

Недолгое пребывание Аркадия Фридриховича Каца в Вахтанговском театре оставило глубокий след и в истории коллектива и в судьбах актёров, занятых в его постановках.

Аркадий Кац преподавал на театральном факультете Латвийской государственной консерватории им. Я. Витола,  его учеником является замечательный актёр-вахтанговец, народный артист России Андрей Ильин. Также преподавал на актёрском факультете Университета штата Мичиган.