Михаил Федорович Астангов родился 21 октября (3 ноября) 1900 году в Варшаве в семье железнодорожного служащего.

В 1918 году окончил гимназию и поступил на юридический факультет Московского университета, где его сокурсниками были Р. Н. Симонов, А. М. Лобанов, О. Н. Абдулов и Н. М. Горчаков. Студентом университета занимался в театральной студии актрисы Малого театра А. А. Матвеевой, брал уроки в студии А. А. Гейрота.

В 1920 году поступил в студию им. Ф.И. Шаляпина, ставшую для него настоящей актерской школой и первой профессиональной сценой. В это время наибольшее влияние на молодого актера оказали его педагог Л. М. Леонидов, встречи с Е. Б. Вахтанговым и А. Д. Диким. Первые большие роли Астангов сыграл в популярных тогда пьесах: «Революционная свадьба» Михаэлиса и «Зеленый попугай» А. Шницлера.

В 1923 году  Михаил Астангов перешел в Театр имени Комиссаржевской. Здесь роль Чичикова («Мертвые души» по Н. В. Гоголю, 1925) принесла актеру известность.  Астангов создал образ раба безумной идеи, честолюбца, решившегося на самые отчаянные поступки. Среди ролей той поры — Лодыжкин («Конец Криворыльска» Б. С.  Ромашова, 1926), с которого началась портретная галерея врагов революции, сыгранных Астанговым.

В 1927 году Астангов на время расстается с Москвой и едет в Одессу (сезон 1927-1928), а затем в Казань (сезон 1928-1929), недолго работает в Ленинграде в труппе драматического театра Народного дома. В годы странствий его актерский опыт приобретает профессиональную зрелость. Среди самых заметных ролей этого периода: матрос Годун («Разлом» Б. А. Лавренева), Квазимодо («Собор Парижской богоматери» по В. Гюго),  Бетховен (одноименная пьеса Жижмора). Одесский и Казанский сезоны выдвинули Астангова в первый ряд актеров провинциальной сцены.

В 1930 году Михаил  Астангов вернулся в Москву, в Театр Революции, где работал с 1925-1927 год. Взлет творчества Михаила Астангова в 1930-е годы начинается с роли итальянского анархиста Спавенты в пьесе «Улица радости» Н. Зархи (1932). Яркими работами того времени стали: Гай («Мой друг» Н. Погодина, 1932), Павел Греков (одноименная пьеса Б. Войтехова и Л. Ленча, 1939),  Керенский («Правда» А. Корнейчука, 1937),  Паратов («Бесприданница» А. Н. Островского, 1940) и др. Несмотря на спорные оценки астанговского Ромео («Ромео и Джульетта» У. Шекспира, 1935), трактовка Астангова принесла ему всероссийскую известность.

С 1943 по 1945 год  М. Астангов был актером Театра имени Моссовета, где сыграл роли Федора Таланова («Нашествие» Л. Леонова, 1943) и Треплева («Чайка» А. П. Чехова, 1945).

С 1945 года и до конца своих дней Михаил Федорович Астангов служил в Театре имени Евгения  Вахтангова. Первая роль у Вахтанговцев — Сирано де Бержерак (одноименная пьеса Э. Ростана, 1946), которую Астангов заканчивал на трагической ноте. Это была своего рода репетиция к Гамлету, сыгранному артистом спустя двенадцать лет.

Большое место в искусстве Михаила Астангова конца 1940-х — начала 1950-х годов занимала политическая сатира — такие роли, как Мак-Хилл («Заговор обреченных» Н. Вирты), Смит («Русский вопрос» К. Симонова), Гарготта («Миссурийский вальс» Н. Погодина) и др. Рядом с сатирой в репертуаре Астангова были и Инсаров («Накануне» И. С. Тургенева), Пастухов («Кирилл Извеков» по К. Федину) и др. В последние годы «темперамент мысли» в репертуаре Астангова явно брал верх над лирикой. Роль Маттиаса Клаузена («Перед заходом солнца» Г. Гауптмана, 1954) принадлежит к высшим художественным достижениям артиста. Он играл ее с естественностью жизни, заставляя зрителей верить, что этот седой человек еще способен пылко любить и быть любимым. В то же время с подлинным душевным надрывом артист поведал о трагической судьбе человека, у которого в одночасье рухнули все иллюзии и идеалы жизни.

В 1958 году, на шестом десятке лет,  М.Ф. Астангов сыграл своего знаменитого Гамлета. Темой его Гамлета была «вечно беспокойная человеческая мысль». Эта роль была для Астангова великим примером возмужания человека в борьбе со злом.

Михаил Федорович Астангов ушел из жизни 20 апреля 1965 года.