Роберт Робертович Стуруа родился в  31 июля 1938  года в Тбилиси в семье грузинского художника Р. И. Стуруа.

В 1961 году окончил в Тбилиси режиссерский факультет Грузинского театрального института им. Шота Руставели. Учился в мастерской педагога, народного артиста СССР Михаила Туманишвили.

С  1979 года — главный режиссер , а с 1986 года — художественный руководитель Тбилисского драматического театра им. Руставели.

Поставил несколько десятков спектаклей. В их числе: «Сейлемский процесс» по пьесе Артура Миллера «Суровое испытание», «Мачеха Саманишвили» и «Невзгоды Дариспана» по произведениям Давида Клдиашвили, «Кавказский меловой круг» и «Добрый человек из Сезуана» по пьесам Бертольта Брехта, «Ричард III», «Король Лир», «Макбет», «Двенадцатая ночь» и «Гамлет» по пьесам Уильяма Шекспира, «Синие кони на красной траве» по произведению Михаила Шатрова, «Похороны в Калифорнии» по пьесе Рустама Ибрагимбекова, «В ожидании Годо» по трагикомедии Сэмюэла Беккета и др.

В 1987 году на сцене Театра имени Евгения Вахтангова Роберт Стуруа выпускает спектакль «Брестский мир» М. Шатрова, в котором были заняты его ведущие актеры: Михаил Ульянов, Василий Лановой, Евгений Карельских, Ирина Купченко, Сергей Маковецкий, Максим Суханов.

С 1998 г. регулярно сотрудничал с московскими театрами. В «Сатириконе» поставил спектакли «Гамлет» (1998) и «Синьор Тодеро — хозяин» по пьесе Карло Гольдони «Синьор Тодеро — брюзга, или Докучливый старик» (2002), в «Et Cetera» — «Шейлок» по пьесе Уильяма Шекспира «Венецианский купец» (2000), «Последняя запись Крэппа» по драме Сэмюэла Беккета (2002), «Буря» по пьесе Уильяма Шекспира (2010), в Театре им. А. С. Пушкина — «Ромео и Джульетта» по трагедии Уильяма Шекспира (2004).

С поста художественного руководителя Театра им. Шота Руставели уволен  приказом министра культуры и защиты памятников Грузии от 9 августа 2011 года.

С 2011 г. по н. в. — главный режиссер московского театра «Et Cetera». На его сцене поставил спектакли: «Ничего себе местечко для кормления собак» по пьесе Тарика Нуи (2012), «Звездный мальчик» по сказке Оскара Уайльда (2012) и «Комедия ошибок» по произведению Уильяма Шекспира (2013).

В ноябре 2012 года режиссер был восстановлен в должности художественного руководителя тбилисского театра имени Шота Руставели. При этом за Роберт Стуруа сохраняются все обязанности главного режиссера Et Cetera.

С 2013 г. по н. в. — художественный руководитель театра «Фабрика» (Тбилиси).

У Стуруа два постоянных соавтора: художник Георгий Алекси-Месхишвили и композитор Гия Канчели. Стуруа много работал за рубежом, осуществил 16 постановок пьес Шекспира, Софокла, Мольера, Чехова, Брехта в разных театрах мира. Всего Роберт Стуруа поставил более 80 спектаклей и около десяти опер, в т. ч. «Мазепу» Петра Чайковского на сцене Большого театра России (2004).