Александр Константинович Граве родился 8 сентября 1920 года в Москве. В 1942 году, окончив Театральное училище имени Бориса Щукина (курс А.А. Орочко), был принят в труппу театра имени Евгения Вахтангова и зачислен во фронтовую бригаду театра. Прошёл почти всю войну, форсировал Днепр, встретил победу в Берлине и был награжден Орденом Отечественной войны.

В родном Вахтанговском театре служил 70 лет и сыграл на его сцене более 150 ролей, среди которых: «Фронт» А. Корнейчука (Орлик), «Сирано де Бержерак» Э. Ростана (Кристиан), «Молодая гвардия» А. Фадеева (Земнухов), «Перед заходом солнца» Г. Гауптмана (Ганефельд), «Гамлет» У. Шекспира (Розенкранц), «Дамы и гусары» А. Фредро (Гжегож, Ротмистр), «Дион» Л. Зорина (Бен-Захария), «Живой труп» Л.Н. Толстого (Следователь), «Принцесса Турандот» К. Гоцци (Тарталья), «Золушка» Е. Шварца (Король), «Мещанин во дворянстве» Мольера (Учитель философии), «Антоний и Клеопатра» У. Шекспира (Ефроний), «Кот в сапогах» Г. Калау (Король), «Маленькие трагедии» А.С. Пушкина (Лепорелло), «Ричард III» У. Шекспира (Эдуард IV), «Леший» А.П. Чехова (Вафля), «И дольше века длится день» по роману Ч. Айтматова (Казангап), «Государь ты наш, батюшка» Ф. Горенштейна (Вяземский), «Цилиндр» Э. де Филиппо (Агостино), «Чудо святого Антония» М. Метерлинка (Доктор), «Калигула» А. Камю (Сенект),«Собака на сене» (Граф Лудовико).

До последних дней А.К. Граве оставался действующим актёром Вахтанговской труппы, был занят в спектаклях: «Фредерик, или Бульвар преступлений» Э. Шмитта (Антуан), «Царская охота» Л. Зорина (Ферапонт Фомич), «Чайка» А.П. Чехова (Сорин), «Троил и Крессида» У. Шекспира (Нестор).

Одна из первых его работ в кинематографе — рядовой Огурцов в фильме Михаила Жарова «Беспокойное хозяйство» на долгие годы сделала его культовым артистом Советского кинематографа.

Преданный Вахтанговской сцене, он снимался в кино не так часто, как хотелось бы. Тем не менее, в его жизни было и радио, и телевидение, и мультипликация.

А.К. Граве был одним из ведущих мастеров Щукинского училища, профессором (с 1998 года). В качестве художественного руководителя выпустил два курса: в 1992 — Коми-пермяцкую национальную студию и в 2000 — актёрский курс.

В его профессиональное мастерство, истинную интеллигентность, живой ум, мягкую иронию, тонкий юмор были влюблены коллеги, ученики, зрители.

А.К. Граве был одним из основных хранителей подлинной Вахтанговской театральной культуры.