Юрий Константинович Алексеев-Месхиев — представитель третьего поколения театральной династии Алекси-Месхишвили, внук актёра и режиссёра Владимира Алекси-Месхишвили, родился в 1917 году.

Учился в театральной школе Второго МХАТа. После его закрытия в 1936 году поступил в школу при Вахтанговском театре, которую окончил в 1939 году и был принят в труппу Театра имени Евгения Вахтангова.

«Когда в 1936 году закрыли Второй МХАТ, к нам в театр (вернее, в школу при театре) оттуда влилась группа бывших студийцев. Среди них — Николай Гриценко, Елена Фадеева, Нина Попрыкина и другие. Вот в этой группе студентов оказались и три примерных молодых человека, три неразлучных друга. Юра Любимов (ставший впоследствии знаменитым Юрием Петровичем Любимовым) тогда, в то далекое прекрасное время нашей молодости не был еще ярым антисоветчиком, врагом тоталитарной власти (по крайней мере, мы этого не чувствовали), а был просто очень талантливым артистом и необыкновенно красивым молодым человеком. Мускулистое телосложение, голубые глаза и при этом прекрасное чувство юмора, искренность, доброта… В него влюблялись многие женщины, а он весьма снисходительно позволял себя любить, не прилагая к этому никаких усилий. Вторым из этой неразлучной троицы был Юра Алексеев-Месхиев, сын опереточной актрисы и племянник (любимейший племянник) знаменитой провинциальной актрисы Варвары Алексеевой-Месхиевой. Очень холеный, подтянутый, спортивный и крайне избалованный своей актерской семьей, он выглядел каким-то барчуком — так по крайней мере мне казалось. Вскоре он женился на Люсе Целиковской. И выяснилось, что он простой, славный малый, хотя следы избалованности все равно в нем проглядывали. Но верховодил этой троицей Исай Спектор». (Г.Л. Коновалова, «Вахтанговские легенды»)

В Театре имени Евгения Вахтангова Ю.К. Месхиев сыграл небольшие роли в спектаклях: «Путь к победе» (Комендант), «Фельдмаршал Кутузов» (Бекетов), «Принцесса Турандот» (Мудрец), «Дон Кихот» (Мажордом).

В 1942 году снялся в кинофильме «Неуловимый Ян» (режиссёры Исидор Анненский и Владимир Петров).

В 1943-1945 годах — актер Тбилисского Русского драматического театра имени Грибоедова, где играл в спектаклях по пьесам А.Н. Островского «Последняя жертва» (Дульчин, режиссер Абрам Рубин) и «Лес» (Буланов, режиссер Анатолий Смиранин). В первой из этих постановок сценической партнёршей Алексеева-Месхиева стала его тётя Варвара Алексеева-Месхиева.

В 1945 году вернулся в Москву и поступил в труппу МХАТа.

Юрий Константинович Алексеев-Месхиев ушел из жизни в  1946 году.  Похоронен на Новодевичьем кладбище.