Юрий Константинович Алексеев-Месхиев  родился в 1917 году.

Поступил в театральную школу Второго МХАТа. После его закрытия в 1936 году перешёл в Театральное училище имени Бориса Щукина, которое окончил в 1939 году. Учился на одном курсе с Юрием Любимовым.

Служил в Театре имени Евгения Вахтангова  с 1939 по 1943 год.

Играл в спектаклях: «Путь к победе» (Комендант), «Фельдмаршал Кутузов» (Бекетов), «Принцесса Турандот» (Мудрец), «Дон Кихот» (Мажордом).

В 1943-1945 годах — актер Тбилисского Русского драматического театра имени Грибоедова, где играл в спектаклях по пьесам А.Н. Островского «Последняя жертва» (Дульчин, режиссер Абрам Рубин) и «Лес» (Буланов, режиссер Анатолий Смиранин). В первой из этих постановок сценической партнёршей Алексеева-Месхиева стала его тётя Варвара Алексеева-Месхиева.

В 1942 году снялся в кинофильме «Неуловимый Ян» (режиссёры Исидор Анненский и Владимир Петров).

В 1945 году вернулся в Москву и поступил в труппу МХАТа.

Юрий Константинович Алексеев-Месхиев ушел из жизни в  1946 году.  Похоронен на Новодевичьем кладбище.