Максим Иванович Греков родился 11 декабря 1922 года. До войны он был одним из организаторов знаменитой Арбузовской студии, где вместе с Алексеем Арбузовым, Александром Галичем и Валентином Плучеком создал ярчайшую пьесу советской драматургии «Город на заре». Во время войны он был партизаном, разведчиком и воевал вместе с Зиновием Гердтом. В 1949г. закончил в Театральное училище имени Б. В. Щукина, курс Анны Орочко. Служил в Театре имени Евгения  Вахтангова с 1948 по 1965 год. Обаятельный лирический комик, он подкупал своего зрителя тонкой иронией, искренностью и жизнерадостностью. Кинозрители запомнили его весёлого безногого чистильщика сапог в проникновенном фильме Михаил Калика «Человек идёт за солнцем». В 1964 году с группой артистов он приехал к атомщикам Дубны, в ожидании концерта, искупался в небольшом пруду на территории Академгородка и, лишь после выступления заметил на берегу пруда щит с надписью: «Купание запрещено! Радиоактивность!». Через несколько месяцев Максим Геков умер от лучевой болезни. Ему было 42 года.

Максим Иванович Греков ушел из жизни 20 февраля 1965 года.