Родился 1 октября 1924 года в Москве.

Окончил филологический факультет МГУ, защитил кандидатскую диссертацию. В разгар борьбы с космополитизмом отказался осудить своих учителей, поэтому дальнейшая научная карьера оказалась для него закрытой. Все силы, знания, умения отдал он Театру Вахтангова, которому был предан всей душой. Его называли потомственным вахтанговцем – отец А.П. Газиев был заведующим музеем Театра, а сам Юрий Александрович служил в Театре с 1952 года, почти семь десятков лет.

Юрий Александрович, энциклопедически образованный, блестяще владевший английским, французским, немецким языками, был незаменим во встречах и работе с многочисленными зарубежными гостями и авторами Театра – Эдуардо де Филиппо, Артур Миллер и др.

Написанные им тексты буклетов, статей, аннотаций, сделанные им инсценировки обнаруживали его литературный дар и вкус, чувство стиля и слова. Газиев принимал участие в переложении для сцены повести А.С. Пушкина «Пиковая дама» для легендарного спектакля Петра Фоменко, работал с Александром Горбанем над сценической редакцией «За двумя зайцами…».

Он принимал активное участие в формировании репертуара, его знания и советы высоко ценили руководители Театра Рубен и Евгений Симоновы, Михаил Ульянов, а в последнее десятилетие – Римас Туминас. К нему с огромным уважением относились лучшие советские и российские драматурги, чьи произведения благодаря Газиеву попадали на вахтанговские подмостки.

В последние годы Юрий Александрович тяжело болел, но до последнего дня сохранял ясность ума и прекрасную память. Незадолго до своей кончины  передал Театру бесценные документы – письма, эскизы, которые хранились в его семье.

Ушёл из жизни 11 июня 2019 года, несколько месяцев не дожив до своего 95-летия.