Андрей Львович Абрикосов родился 14 (27) ноября 1906 года в Симферополе в семье агронома. Из известной семьи русских купцов, общественных деятелей, благотворителей и ученых Абрикосовых, владельцев кондитерского концерна «Фабрично-торговое товарищество А.И. Абрикосова сыновей».

В 1925 году перебрался в Москву, где поступил в кинематографическую студию А.С. Хохловой. Вскоре оставил ее и занимался у З.С. Соколовой, сестры К.С. Станиславского.

В 1929 году  «сотрудник» Студии Малого театра (1926-1929) Абрикосов, не сыгравший ни одной роли в театре, был утвержден на роль Григория Мелихова в немом фильме «Тихий Дон», поразив режиссеров О. Преображенскую и И. Правова сходством с их представлением о шолоховском герое. Выход фильма на экраны принес актеру огромный успех и определил его дальнейшую творческую судьбу.

В 1930 — 1931 гг.  Абрикосов — актер Московского Передвижного театра,  в 1931-19З7 — Московского Реалистического театра,  в 1937 — 1938 — Камерного театра.

С 1938 года и до конца жизни Андрей Абрикосов служил в Театре имени Евгения Вахтангова, а в 1953 — 1959 годах был и его директором.

Среди его ролей в Театре Вахтангова: Незнамов (Без вины виноватые), Клавдио (Много шума из ничего), Сансон Карраско (Дон Кихот),
Огнев (Фронт), Сафонов (Русские люди), Семен Котко (Шел солдат с фронта), Жан Вальжан (Отверженные), Рагозин (Кирилл Извеков),
Тригорин (Чайка), Игнат Гордеев (Фома Гордеев), Добров (Город на заре) и др.

Андрей Львович Абрикосов ушел из жизни 19 октября 1973 года.